Die Integralfunktion Fläche unter einem Funktionsgraphen
Nach einem kurzen Rückblick auf die vorherige Folge werten wir ein physikalisches Experiment aus. Dabei berechnen wir die Fläche unter einem Funktionsgraphen.
Die drei Schritte zur Berechnung der Fläche unter der Randfunktion
Die Sendung beginnt mit einem kurzen Rückblick auf die vorhergehende, in der mit den Schritten Rechteckbildung – Summieren – Grenzwertbildung ein Verfahren entwickelt wurde, mit dem die Fläche unter einer Randfunktion, speziell unter der Normalparabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x², berechnet wurde. Diese Fläche F0(x0) von 0 bis zur Stelle x0 beträgt F0(x0) = x0³/3 .
Versuchsaufbau zum Flüssigkeitstransport
Ähnlich wie in der vorhergehenden Sendung wird im Folgenden ein physikalisches Experiment ausgewertet, bei dem das Ergebnis eine Fläche unter einem Funktionsgraphen ergibt. Wasser wird durch einen Schlauch und durch eine kleine Elektropumpe von einem Vorratsgefäß in ein Abflussgefäß gepumpt. Zwischen dem Vorratsgefäß und der Pumpe ist ein Kästchen mit einem Durchflusssensor eingefügt. Er enthält ein kleines Flügelrad, das proportional zum Durchfluss (in Liter/Sekunde) entsprechend viele elektrische Impulse abgibt.
Die wichtigsten Komponenten des Experiments
Diese Impulse bewirken in einem angeschlossenen Zeigerinstrument einen dem Durchfluss proportionalen Ausschlag. Der Durchflussmesser arbeitet bidirektional, das heißt: Wenn Wasser von links nach rechts strömt, ist der Zeigerausschlag rechts vom Nullpunkt, fließt das Wasser vom Abflussgefäß zurück, so wandert der Zeiger nach links über den Nullpunkt hinaus.
Experiment mit konstanter Strömungsstärke
Im ersten Experiment läuft die Pumpe 20 s lang mit einer Förderleistung von 0,1 l/s. Zeit und Förderleistung werden gleichzeitig in ein Koordinatensystem eingetragen, so dass die konstante Förderleistung als waagrechte Linie erscheint.
Das Produkt aus Strömungsstärke und Zeit ist gleich dem Transportvolumen
Ähnlich wie in der vorhergehenden Sendung das Produkt Kraft mal Weg die Transportarbeit ergab, ergibt hier das Produkt Strömungsstärke mal Zeit das Transportvolumen, (l/s)s = l, bzw. bei diesem Experiment 0,1 l/s · 20 s = 2 l. Die Fläche unter dem Graphen der Randfunktion f = 0,1 l/s ist also F0(20).
Abhängigkeit der Fläche von der oberen Grenze x
Statt des speziellen Wertes 20 gilt für beliebige Zeiten x für das Volumen F0(x).
D.h., F0(x) ist eine Funktion der oberen Grenze x.