Telekolleg - Integralrechnung Praktisches Beispiel
Bei einem ersten Beispiel aus der Praxis soll vor einem Lärmschutzwall ein Graben ausgehoben werden, der dann mit Wasser gefüllt wird. Vor dem Lärmschutzwall wird eine Böschung angehäuft, die später begrünt werden soll. Der Aushub aus dem Graben soll für die Böschung genutzt werden.
Modell des geplanten Grabens und der Böschung vor der Lärmschutzwand
Dazu müssen das Volumen des Grabens und das der geplanten Böschung bekannt sein. Da die Länge l bei Graben und Böschung gleich ist, kommt es für die Berechnung nur auf die Querschnittsflächen von Graben und Böschung an.
Oben die Querschnittsfläche der Böschung, unten die Querschnittsfläche des Grabens.
Im Folgenden soll die Gesamtquerschnittsfläche von Böschung und Graben bestimmt werden. Die Skizze zeigt die beiden Querschnittsflächen deutlich: Links oben die nahezu dreiecksförmige Querschnittsfläche der Böschung, rechts unten die kreissegmentförmige Querschnittsfläche des Grabens. Dazu wird die Randfunktion f(x) = 0,25(x-4)2-1 angegeben. Aus ihr lässt sich erkennen, dass es sich um eine nach oben weit geöffnete Parabel mit den Scheitelkoordinaten (4/-1) handelt. Zum Integrieren wird umgeformt und wir erhalten f(x) = 0,25x2- 2x + 3.
Die berechnete Gesamtfläche ist gleich Null.
Die Nullstellen dieser Funktion errechnen sich zu (2/0) und (6/0), somit sind die Integrationsgrenzen der Gesamtfläche 0 und 6.
Die Stammfunktion des Integrals 0∫6(0,25x2- 2x + 3) dx berechnet sich zu [x3/12 - x2 + 3x ]0 6. Setzt man die Grenzen 6 und 0 ein, so ergibt sich:
0∫6(0,25x2- 2x + 3) dx = 18 - 36 + 18 - (0 - 0 + 0) = 0.
Dieses scheinbar erstaunliche Ergebnis ist vermutlich darauf zurückzuführen, dass die Fläche unterhalb der x-Achse ein negatives Vorzeichen besitzt, also von der oberen Fläche subtrahiert wird und dass offenbar beide Flächen den gleichen Betrag haben, sodass die Differenz Null ergibt.
Die Integrale der beiden Funktionsabschnitte sind entgegengesetzt gleich groß.
Berechnet man die Teilintegrale 0∫2(0,25x2- 2x + 3) dx und 2∫6(0,25x2- 2x + 3) dx, so erhält man 0∫2(0,25x2- 2x + 3) dx = 8/3 sowie 2∫6(0,25x2- 2x + 3) dx = - 8/3. Die Vermutung war also richtig, die Summe der Teilintegrale ist tatsächlich gleich Null.
Für Flächenberechnungen ist diese Methode somit untauglich, man berechnet vielmehr die Beträge der Integrale, also | 0∫2(0,25x2- 2x + 3) dx | + | 2∫6(0,25x2- 2x + 3) dx | = | 8/3 | + | - 8/3 | = 16/3.