15. Der Kosinussatz 15.3. Die drei Möglichkeiten des Kosinussatzes
Wir haben also nun eine Beziehung zwischen den Seiten und einem Winkel des Dreiecks hergestellt. Ist das nur für den Winkel Alpha möglich? Oder geht das für jeden Winkel im Dreieck?
Man müsste bei der Herleitung einmal mit der Höhe auf der Seite b oder mit der Höhe auf der Seite c arbeiten. Dann kann man auch die Winkel beta und Gamma in eine Beziehung mit den Dreiecksseiten einbeziehen.
Die beiden weiteren Herleitungen finden Sie im Begleitmaterial zur Sendung.
Die drei Möglichkeiten
Wir betrachten nun alle drei Möglichkeiten des Kosinussatzes im beliebigen Dreieck ABC - vergleichen Sie oben stehende Abbildung.
- Erstens: Für jedes Dreieck ABC gilt "a Quadrat gleich b Quadrat plus c Quadrat minus zwei mal b mal c mal Kosinus alpha".
- Zweitens: "b Quadrat ist a Quadrat plus c Quadrat minus zwei mal a mal c mal Kosinus beta".
- Drittens: "c Quadrat ist a Quadrat plus b Quadrat minus zwei mal a mal b mal Kosinus Gamma."
Merkhilfe
Wie kann man sich das alles merken? Keine Sorge - alle Formeln, die wir im Grundkurs hergeleitet und verwendet haben, befinden sich in der Formelsammlung. Aber auch ohne eine Formelsammlung könnte man sich den Kosinussatz einfach in Worten merken.
Kosinussatz
Wie kann man sich das alles merken? Keine Sorge - alle Formeln, die wir im Grundkurs hergeleitet und verwendet haben, befinden sich in der Formelsammlung. Aber auch ohne Formelsammlung könnte man sich den Kosinussatz einfach in Worten merken.
Mit dem Kosinussatz kann in jedem beliebigen Dreieck aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnet werden. Sind in einem Dreieck alle drei Seitenlängen bekannt, so können mit dem Kosinussatz die Größen der Innenwinkel ermittelt werden.