Die Erkenntnis mit den Balkenwaagen wollen wir für unser Gleichungssystem nützen: Wir müssen jetzt also nur versuchen, dass auf einer Seite der Gleichung jeweils das Gleiche steht. Zum Beispiel überall ein x.

Lösungsweg - klicken Sie bitte auf die Lupe

Damit in Gleichung I x auf der linken Seite der Gleichung alleine steht, subtrahieren wir auf beiden Seiten y und erhalten x gleich 82 minus y als neue Gleichung I. Bei der zweiten Gleichung müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung 2y subtrahieren um ebenfalls x alleine auf der linken Gleichungsseite zu erhalten. Die zweite Gleichung unseres Systems lautet dann x gleich 140 minus 2y.

Jetzt haben wir unser Waagebeispiel: Zweimal auf der linken Seite der gleiche Term, bei unserer Waage war dies das gleiche Gewichtsstück.

Eine Gleichung mit nur noch einer Variablen

Gleichsetzen der rechten Seiten

Wir können die rechten Seiten somit gleichsetzen und erhalten 82 minus y ist gleich 140 minus 2y. Eine Gleichung mit nur noch einer Variablen und somit auch nur noch die Grundmenge G gleich N.

Und zwar das für die Variable y zuständige N aus der Anfangsgrundmenge N kreuz N.

Jetzt haben wir einen großen Schritt zur Lösung des Systems gemacht. Denn lineare Gleichungen mit nur einer Variablen können wir lösen.

Die y-Glieder auf eine Seite bringen

Die Anzahl der Doppelzimmer - klicken Sie bitte auf die Lupe

Um die y-Glieder auf eine Seite zu bringen, addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung 2y und erhalten 82, für minus y plus 2y erhalten wir plus 1y, gleich 140. Die y-freien Glieder auf die andere Seite, also minus 82, ergibt y gleich 140 minus 82 ist 58.

Da y für die Anzahl der Doppelzimmer gewählt wurde, wissen wir jetzt, dass das Hotel über 58 Doppelzimmer verfügt. Jetzt fehlt uns nur noch die Anzahl der Einzelzimmer.

Dazu schauen wir nochmals in unser ursprüngliches Gleichungssystem.

Die Bestimmungsgleichung

y in I eingesetzt - klicken Sie bitte auf die Lupe

Setzen wir in eine der beiden Gleichungen unser errechnetes y mit 58 ein, so erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für die Variable x.

Ich wähle mal Gleichung I. Wir erhalten x plus 58 für y gleich 82. Als neue Grundmenge G gleich N, aber jetzt das N für die Variable x. Auf beiden Seiten 58 subtrahiert ergibt sich für x die Zahl 82 minus 58 gleich 24. Dies wäre auch mit der Gleichung II möglich gewesen:

x plus 2 mal 58 für y gleich 140. Auch diese Gleichung führt zur Lösung x gleich 24.

Das Lösungspaar

Das Lösungspaar - klicken Sie bitte auf die Lupe

Das Hotel verfügt demnach über 24 Einzelzimmer, da x für die Anzahl der Einzelzimmer gewählt worden war und über 58 Doppelzimmer. Für unser Gleichungssystem bilden die Lösungen für x und y ein Lösungspaar als Lösungselement. L für Lösungsmenge ist die Menge der Elemente, und hier nur ein Element, deshalb in Klammern geschrieben, 24 für x und 58 für y.

Der x- Wert wurde als erster angeschrieben, weil auch in der Grundmenge die erste Menge für die Variable x gewählt worden war. Und ein Lösungspaar ist es deswegen, weil die Lösung nur im Zusammenhang der beiden Gleichungen des Systems richtig ist.

Allgemein können wir jetzt feststellen, dass ein System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Gleichungsvariablen gelöst wird, indem man alle geordneten Paare x, y bestimmt, die sowohl die Gleichung I als auch die Gleichung II in eine wahre Aussage überführen.

Das Gleichsetzverfahren

Für das rechnerische Lösen von linearen Gleichungssystemen mit 2 Variablen stehen uns Verfahren zur Verfügung, die alle darauf beruhen, eine der Variablen zu eliminieren, so dass nur noch Gleichungen mit einer Variablen zu lösen sind. Und ein solches Verfahren haben wir jetzt bereits verwendet: das Gleichsetzverfahren.