Grundkurs Mathematik (7) 7.2. Der Funktionsbegriff
Funktionen spielen eine große Rolle in der Mathematik. Wer verstanden hat, dass eine Funktion eine eindeutige Relation ist, hat schon viel verstanden. Die grafische Darstellung macht das noch deutlicher ...
Definition von Relation
Im allgemeinen Sprachgebrauch versteht man unter Funktion die Aufgabe eines gewissen Objekts. Mathematisch ist es eine besondere Abbildung zwischen Mengen. Die Besonderheit besteht darin, dass die Funktion eine eindeutige Relation ist. Das bedeutet, dass jedem Element x aus der Definitionsmenge genau ein Element y aus der Wertemenge zugeordnet wird. In der grafischen Darstellung ist das leichter ersichtlich:
Funktion oder keine Funktion?
Gafische Darstellung
Liegt auf jeder Parallelen zur y-Achse höchstens ein Punkt des Graphen, so handelt es sich um eine Funktion. Ist dies nicht der Fall, handelt es sich um keine Funktion. Es ist dann "nur" eine Relation.
Funktion = Sonderfall von Relation
Dieses "nur" (siehe Kasten oben) sagt es nochmals aus, dass Funktionen Sonderfälle von Relationen sind. Am einfachsten lässt sich der Funktionsbegriff aber an Hand eines Mengendiagramms erklären. Hierzu ein Beispiel:
Beispiel mit Mengendiagramm
Mengendiagramm
In einer einsamen Berghütte können sich die Männer Hans, Fritz, Sepp und Jim aus einer Definitionsmenge für die Frauen Eva, Maria, Irmengard und Karin aus einer Wertemenge entscheiden. Bei einer funktionalen Abhängigkeit darf von jedem Element der Definitionsmenge nur ein Zuordnungspfeil ausgehen, während zu den Elementen der Wertemenge keine, eine oder mehrere Zuordnungspfeile führen dürfen.
In der Mathematik wird durch einen Term, der jedem x Element aus der Definitionsmenge D genau einen Termwert aus der Wertemenge W zuordnet, eine Funktion f festgelegt. Der Term wird als Funktionsterm f von x bezeichnet. Die Gleichung "y ist gleich f von x" heißt dann Funktionsgleichung.
Funktionsgleichung: ein Beispiel
Die Variable x ist ein Vertreter aus dem rationalen Zahlenbereich Q. Als Term wählen wir ganz beliebig 2x minus eins. Da dieser Term für jede Belegung von x genau einen Funktionswert liefert, heißt er Funktionsterm f von x. y gleich f von x stellt eine Funktionsgleichung dar. Nun setzen wir für f von x 2x minus eins ein. Wir erhalten nebenstehende Gleichung.
Erstellen einer Wertetabelle
Wertetabelle
Diese Gleichung stellt einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Variablen x und y dar, wobei x die Elemente der Definitionsmenge vertritt. Um einige Funktionswerte der möglichen x-Werte eintragen zu können, fertigen wir eine Wertetabelle für die ganzzahligen x-Werte von minus 2 bis plus 2.
In der ersten Zeile der Tabelle werden die gewünschten oder gegebenen x-Werte eingetragen. Die Funktionswerte erhalten wir durch einfache Termbelegungen. In nebenstehender Grafik (Klicken Sie bitte auf die Lupe!) sehen Sie die Berechnung: einmal für x = -2 und einmal für x = -1. Das jeweilige Ergebnis (-5 beziehungsweise -3) wird als y-Wert in die Tabelle übernommen. Alle anderen y-Werte findet man nach dem gleichen Verfahren.
Grafische Darstellung
Grafische Darstellung
Wir werden jetzt die Werte aus der Tabelle in ein Koordinatensystem übertragen. Bei x gleich -2 ist y gleich -5. Der erste Punkt liegt fest. Genauso machen wir es mit den weiteren Punkten der Wertetabelle und erkennen, dass die Punkte alle auf einer Geraden liegen.
Liegen die Punkte des Graphen einer Funktion auf einer Geraden, so handelt es sich um eine lineare Funktion. Die Variable x tritt dabei nur in der ersten Potenz auf. Mit diesen linearen Funktionen wollen wir uns nun weiter beschäftigen.