Wofür braucht man das denn? Das ist die oftmals schwer zu beantwortende Schülerfrage. Aber es gibt durchaus praktische Anwendungsmöglichkeiten. Ein Beispiel:

Berechnung der Baumhöhe

So, jetzt liegt es an uns, ob wir mit den gemessenen Daten auf die Höhe des Baumes schließen können. Funktionieren muss es, denn sonst hätten die Herren, die wahrscheinlich öfter Bäume in schwierigen Positionen umschneiden, nicht dieses Verfahren gewählt. Stellen wir die Situation einmal grafisch dar- siehe oben stehendes Bild.

Die Strecke OS bildet die Höhe des Baumes. Die Herren stellten in acht Meter Entfernung ein Winkelmessgerät in 1,80 Meter Höhe auf und ermittelten bis zur Baumspitze einen Winkel von 50 Grad. Die neben O und S noch auftretenden Punkte bezeichnen wir mit P, M und M'.

Vermutlich haben die Baumfäller mit einem rechtwinkligen Dreieck gearbeitet, in dem ein Winkel und eine Dreiecksseite gegeben sind. Denn dann kann man eine der Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck verwenden. Wir dürfen aber am Ende nicht vergessen, dass das Messgerät 1,80 Meter oberhalb des Bodens aufgebaut war.

Betrachten wir das Dreieck M' M S genauer: MS ist die Hypotenuse - sie ist uns nicht bekannt. M' M ist die Ankathete des Winkels 50 Grad und hat eine Länge von acht Metern. M' S ist ein Teil der Baumhöhe. Diese Höhe bildet die Gegenkathete des Winkels 50 Grad. Wir suchen also eine Beziehung zwischen Gegenkathete, Ankathete und Winkel.

Beziehung zwischen Gegenkathete, Ankathete und Winkel

Eine kurze Wiederholung: Sinus war Gegenkathete durch Hypotenuse. Das scheidet aus, da die Hypotenuse nicht bekannt ist. Kosinus war Ankathete durch Hypotenuse. Das scheidet auch aus, da hier die gesuchte Baumhöhe nicht vorkommt. Dann gäbe es noch den Tangens. Er ist Gegenkathete durch Ankathete. Das könnte klappen, da die Ankathete der Abstand vom Baum und die Gegenkathete die Teilbaumhöhe ist.

Berechnung der Baumhöhe - bitte klicken Sie auf die Lupe.

Tanges 50 Grad ist dann Gegenkathete, hier die Teilbaumhöhe M' S geteilt durch die Ankathete - ergibt acht. Und somit eine Gleichung, in der die Länge von M' S berechnet werden kann. Wir multiplizieren dazu die Gleichung mit acht und erhalten M Strich S gleich acht mal Tangens 50 Grad. Ausgerechnet ergibt das: M' S mit 9,53 Meter.

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Jetzt sind wir aber noch nicht am Ende unserer Berechnung. Denn das Messgerät war ja 1,80 Meter über dem waagrechten Erdboden aufgebaut. Wir müssen also zu unserem Ergebnis noch die 1,80 Meter addieren. Die Baumhöhe ist somit 9,53 plus 1,80 Meter. Addiert ergibt dies 11,33 Meter.

Das Ergebnis

Dieses Ergebnis gibt die Sicherheit, dass der Baum umgeschnitten werden kann, ohne dass der vorhandene Zaun in Mitleidenschaft gezogen wird. Ohne auf den Baum klettern zu müssen kann man mit dieser Methode jede Baumhöhe ermitteln, vorausgesetzt, es ist genügend Platz zur Wahl des Standpunktes P.