Grundkurs Mathematik (13) 13.2. Berechnung des Steigungswinkels
Die Einsicht, dass die Steigung m einer Geraden gleich dem Tangens des Steigungswinkels alpha ist, erleichtert viele Berechnungen, wenn es um Steigungen von Geraden geht.
Das eben Wiederholte bildet aber auch die Grundlage für Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck.
Basis der folgenden Berechnungen:
Jedes rechtwinklige Dreieck besteht aus zwei Katheten und einer Hypotenuse. Die Hypotenuse ist dabei die Seite, die dem rechten Winkel des Dreiecks gegenüber liegt. In diesem Zusammenhang sei auch nochmals auf den Satz von Pythagoras, dem Höhensatz und die Kathetensätze hingewiesen.
In der Folge 11 war ein junger Mann beim Fensterln. Erinnern Sie sich noch? Wir haben die fehlende dritte Seite gesucht. Heute interessiert uns der Steigungswinkel alpha der Leiter.
Beispiel für den Steigungswinkel alpha
Die vier Meter lange Leiter stand 1,20 Meter von der Hauswand entfernt. Der Steigungswinkel der Leiter beträgt alpha. Es ist vielleicht einfacher, wenn wir das Dreieck an der Hauswand spiegeln. Dieses gespiegelte Dreieck verschieben wir in ein Koordinatensystem. Wie wir bereits wissen, hat der Punkt P die kartesischen Koordinaten r mal Kosinus alpha und r mal Sinus alpha.
Vielleicht bemerken Sie gerade jetzt wieder, dass in der Mathematik eines auf das andere aufbaut, beziehungsweise etwas Neues immer durch etwas Altes, Bekanntes hergeleitet werden kann. So auch hier. Die x-Koordinate des Punktes P ist r mal Kosinus alpha und besitzt die Länge 1,20 Meter.
Winkelmaßberechnung: Bitte klicken Sie auf die Lupe.
Der Radius r beträgt für unser Beispiel vier Meter. Es ergibt sich: "Vier Meter mal Kosinus alpha gleich 1,20 Meter". Teilt man diese Gleichung durch vier Meter ergibt sich für Kosinus alpha der Quotient 1,20 durch vier und berechnet: 0,3. In den Taschenrechner eingetippt, ergibt sich ein Winkelmaß von 72,5 Grad.
Berechung des Winkelmaßes über die Höhe h
Die Leiter stand demnach ganz schön steil an der Hauswand. Der junge Bursche hatte Glück, dass er bei dem Schreck, der ihm eingejagt wurde, nicht von der Leiter fiel. Hätten wir dieses Winkelmaß auch über die Höhe vom Boden bis zum Fenster ermitteln können?
Nach Pythagoras: Bitte klicken Sie auf die Lupe.
Probieren wir es: Die Höhe h lässt sich über den Lehrsatz von Pythagoras berechnen. Hypotenuse, hier vier, zum Quadrat, ist Kathete 1,2 zum Quadrat plus Kathete h zum Quadrat. Über mehrere mathematische, Ihnen bekannten Umformungen nach h aufgelöst, ergibt sich eine Höhe von 3,816 Meter.